群論bot @GruppenTheoBOT
群論に関する事実をツイートします。作者は @kobae964 です。 github.com/koba-e964/Grup… 惰性群と分解群の間 Joined March 2013-
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Gを G = O(g1) ∪ O(g2) ∪ ... の形で表す。(各O(gi)は互いに交わらない) これの要素数をとることで得られる等式 |G| = |O(g1)| + |O(g2)| + ... を類等式と呼ぶ。
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Gの共役作用を考えると、その軌道分解は共役類の分類に他ならない。各元g∈Gについて、gを含む共役類(軌道)をO(g)とすると、Gは集合として 互いに交わらないO(g)の形の集合の和集合として表せる。
群(G,*)について、作用をg . x = g * x * g^-1で定めるとGはG自身に作用する。この作用を共役作用と呼ぶ。
群(G,*)と集合Xと作用.:G×X→Xについて、x,y∈Xの間の関係∃g∈G, x= g . yは同値関係である。この関係による同値類を軌道と呼び、xを含む軌道をxの軌道と呼ぶ。またこの同値類による分解を軌道分解と呼ぶ。
群(G,*)と集合Xと演算.:G×X→Xが e . x = x (g * h) . x = g . (h . x) を満たすとき、Gは集合Xに作用するといい、演算.を作用と呼ぶ。
群Gおよびその元g,h∈Gについて、あるx∈Gが存在してg=x*h*x^-1が成り立つとき、gとhは共役であるという。共役は同値関係である。共役による同値類を共役類と呼ぶ。
群Gについて、以下が成立する: Gはアーベル群⇔Gの元について逆元を取る写像をinvとするとき、invは群準同型である
Grpの群対象Gに対して、mがGの演算と一致しGがアーベル群であることが言える。m(x,1) = m(1,x) = xでありmが準同型であるため、m(a,b)=m(a,1)m(1,b)=abとm(a,b)=m(1,b)m(a,1)=baが言えるからである。
有限積を持つ圏Cについて、対象GがCにおける群対象であるとは、射 m:G×G→G, e:1→G, inv:G→G が存在し、群と同様の公理を満たすことである。
群Gの表現(V,ρ)について、Vの部分空間Wが ∀g∈G, ρ(g)(W)⊂W を満たすとき、(W,ρ)は(V,ρ)の部分表現であるという。V≠{0}であり、Vの部分表現がVと{0}のみであるとき、VはGの既約表現であるという。
群Gの忠実な表現(V,ρ)について、Gを1対象uからなるGの元を射とする圏とみなして、函手F:G→VctをF(u) = V, F(g) = ρ(g)で定めると、Fは忠実函手てある。
群Gおよびベクトル空間Vおよび群準同型ρ:G→GL(V)について、(V,ρ)をGの表現という。ρが単射である場合、この表現は忠実であるという。
群(G,*)およびその元x,yについて、x * y * x^-1 * y^-1を交換子積と呼び、[x,y]と表記する。また交換子積によって生成されるGの部分群を交換子部分群(または導来部分群)と呼び、[G,G]やG^(1)と表記する。
群Gおよびその部分群Nについて、以下が成立する: NはGの正規部分群⇔ある群Hと群準同型f:G→Hが存在してNはfの核
有限群Gに対して表現CGは完全可約であり、既約表現の直和に分解する(Maschkeの定理)。Gの既約表現Vに対して、その分解中に現れるVと同型な表現の個数はdim V(C-ベクトル空間としての次元)である。
群Gと体Kに対して、Gの元全体を基底とするK-ベクトル空間をKGと表記する。KGの上のGの表現λ(λ(g)(h)= ghを満たす)を左正則表現(left regular representation)と呼ぶ。
しずめこみ @Submersion13
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池田 岳 @gakuikeda1109
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すぅ族 Henri•Sak.. @oka_seki_mori
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Yuta Kataoka（片岡.. @yutkatkitkat
5K Followers 3K Following 数学が好きです。 特に関数解析学が好きです。 Mathpediaの解析分野のライター（執筆した記事群は「関数解析の基礎」）です。 大学数学、高校数学のオンライン家庭教師をしています。ご依頼はDMでお願いします。
富谷(東女)物理�.. @TomiyaAkio
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@GruppenTheoBOT Abel化関手に似てる？って思ってちょっとだけ手を動かしたけど何言えば良いか分からんくなったから誰かお願い←
@GruppenTheoBOT Grpにおける単位的マグマ対象の時点で可換かつもともとの演算に一致すると思うのですが…。あと、mともともとの演算が一致するという議論をする前にinvを使ってそのような議論ができるものなのでしょうか？
@GruppenTheoBOT これ、invに着目してますけど、Monを直積でモノイダル圏にしたとき、同様の議論でMon上のモノイドは可換モノイドになるはず(たぶん……)なので、invが本質的なのかちょっと疑問が残る気がします。
なんか、聞いている音楽の音の高さが半音以下の範囲で上下しているような感じがするんだけど、そういう音楽なのか、マシンの調子が悪いのか、耳の調子が悪いのかわからない
極端なことを言うと「x∈S をとり」と「x∈S が成り立つ」では「x∈S」の意味は違う（前者は変項 x の意で後者は命題の意）ので，これは果たしてマークアップ言語上で区別すべきか
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