収束空間bot @conv_sp_bot
収束空間に関する事柄をつぶやきます Japonya Joined August 2018-
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【定義】収束空間XがT1であるとは，[x]∈λ(y)ならばx=yとなることをいう．つまり，[x]がxのみに収束する空間がT1収束空間である．
【位相空間との違い】収束空間Xから収束空間Yへの連続写像f:X→Yに対して，Xがコンパクト，Yがハウスドルフ，fが全単射でもfが同相写像とは限らない．
【性質】前位相的な収束空間Xが位相的であることと，任意のx∈Xとその近傍V∈N(x)に対して，I(V)∈N(x)が成り立つことは同値．
【性質】収束空間X,Yに対して，写像f:X→Yが連続写像ならばYの開集合のfによる逆像はXの開集合である．Yが位相的ならば逆が成り立つ，つまり，Yの全ての開集合に対してfによる逆像がXの開集合なら，fは連続写像である．
【定義】収束空間Xが前位相的であるとは，フィルターFがxに収束することとFがxの近傍フィルターN(x)に含まれることが同値であることをいう．
【定義】収束空間がショケであるとは，フィルターFがxに収束することとFより細かい全ての極大フィルターがxに収束することが同値であることをいう．
【定義】収束空間X,Yに対して写像f:X→Yがx∈Xで連続であるとは，X上のフィルターFがxに収束するならY上のフィルター基f(F)がf(y)に収束することをいう．全てのx∈Xでfが連続なとき，fを連続写像であるという．
【性質】収束空間Xが正則であることは以下と同値: 集合Jと写像ψ:J→X，σ:J→Φ(X)で全てのx∈Jに対してσ(x)がψ(x)に収束するものに対して，F∈Φ(X)に対してκσFがxに収束するならψ(F)がxに収束する．
【性質】ショケ収束空間Xから収束空間Yへの連続写像f:X→Yは，Xがコンパクト，Yがハウスドルフ，fが全単射ならばfは同相写像である．
【定義】収束空間Xの部分集合Aの閉包Cl(A)を Cl(A):={x∈X|F→xとなるフィルターでA∈Fとなるものが存在する} と定める．開核I(A)を I(A):={x∈A|F→xならばA∈Fとなる} と定める．
【定義】収束空間Xがハウスドルフであるとは，F∈λ(x)かつF∈λ(y)ならばx=yが成り立つことをいう．つまり，異なる点に収束することはない空間がハウスドルフ空間である．
【定義】（圧縮）収束空間Xと集合Jをとる．J上のフィルターF∈Φ(J)と写像σ:J→Φ(X)に対して定義されるX上のフィルターκσF:=∪_{A∈F}∩_{x∈A}σ(x)をσに対するFの圧縮という．
【位相空間との違い】収束空間Xから収束空間Yへの連続写像f:X→Yに対して，Xがコンパクト，Yがハウスドルフ，fが全単射でもfが同相写像とは限らない．
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