誘導証明bot @prove_it_bot
誘導に乗れば面白い命題が証明できます！ Joined November 2016-
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【3】ゼータの収束 sが1より大きい実数のとき以下を示せ (1)自然数kについて(k+1)^(-s)＜∫[k〜k+1]x^(-s)dx (2)Σ[k＝1〜n-1](k+1)^(-s)＜(1-n^(1-s))/(s-1) (3)Σ[k＝1〜∞]k^(-s)≦s/(s-1)
【2】線型な連続関数 f(x)が実数x,yについてf(x)+f(y)＝f(x+y)を満たす連続関数のとき以下を示せ (1)整数nと実数aについてf(an)＝f(a)n (2)有理数qについてf(q)＝f(1)q (3)実数xについてf(x)＝f(1)x
【1】微分で不変 f(x)が微分可能な関数でf(x)=f'(x)となるとき以下を示せ (1)(f(x)・e^(-x))'＝0 (2)f(x)が微分で不変ならf(x)はe^xの定数倍
【46】チャンパーノウン定数は無理数 チャンパーノウン定数0.123456789101112…について以下を示せ (1)いくらでも長い、0しか現れない区間がある (2)いくらでも長い、1しか現れない区間がある (3)チャンパーノウン定数は無理数
【45】微分可能だが導関数が不連続 f(0)＝0、x≠0のときf(x)＝sin(1/x)・x^2とするとき以下を示せ (1)f(x)はx＝0で微分可能 (2)f'(x)はx＝0で不連続 (3)実数全体で微分可能だが導関数が不連続である例が存在する
【44】オイラーのφ関数の積表示 n以下でnと互いに素な自然数の個数をφ(n)と書くことにするとき以下を示せ (1)a,bが互いに素⇒φ(ab)＝φ(a)φ(b) (2)φ(n)＝nΠ[p｜n](1-1/p)。ただしΠはnを割り切る素数p全てについての積とする。
【43】単位分数 自然数の逆数を単位分数と呼び、0＜q＜1を有理数とするとき以下を示せ (1)q以下で最大の単位分数を1/nとすると、q-1/nの既約分数表示の分子はqの既約分数表示の分子より小さい (2)qは分母の異なる有限個の単位分数の和で表される
【42】三つ子素数 公差2の等差数列をなす三つ組の素数を純三つ子素数と言うとき以下を示せ (1)自然数nについて、n,n+2,n+4のうち1つは3で割り切れる (2)純三つ子素数は(3,5,7)のみ
【41】フィボナッチ数列の二乗和 Fnをフィボナッチ数列の第n項とするとき以下を示せ (1)FnF(n+1) + F(n+1)^2＝F(n+1)F(n+2) (2)Σ[k＝1〜n](Fk)^2 ＝ FnF(n+1)
【40】一般フィボナッチ数列 x^2＝x+1の二つの解をφ,ψとし、フィボナッチ数列の第n項をFnとするとき以下を示せ (1)Fn＝(1/√5)φ^n + (-1/√5)ψ^n (2)任意の定数A,Bについて、Gn＝Aφ^n+Bψ^nとするとGn+G(n+1)＝G(n+2)
【39】フェルマー数とフェルマー素数 自然数nについてF(n)＝2^n+1とするとき以下を示せ (1)2の累乗aと奇数bについてF(ab)＝F(a)Σ[k＝0〜b-1](-F(a))^k (2)F(n)が素数⇒nが2の累乗
【38】メルセンヌ数とメルセンヌ素数 自然数nについてM(n)＝2^n-1とするとき以下を示せ (1)自然数aと2以上の自然数bについてM(ab)＝M(a)(Σ[k＝0〜b-1］2^(ak)) (2)M(n)が素数⇒nが素数
【37】マチンの公式 arctanは値域を-π/2〜π/2とするtanの逆関数とするとき以下を示せ (1)(5+i)^4/(239+i)＝2+2i (2)偏角の議論より4arctan(1/5)-arctan(1/239)＝π/4
【36】πは無理数 π＝a/b(a,bは自然数)と仮定し、nは十分大きい自然数、f(x,n)＝x^n・(π-x)^n/n!、An＝∫[0〜π]f(x,n)sinx・dxとするとき以下を示せ (1)Anは整数 (2)0＜An＜1 (3)πは無理数
【35】ウィルソンの定理 ≡はmodpとするとき以下を示せ (1)pで割り切れないnと素数pについて、nm≡1となる整数m(0<m<p)が唯一つ存在する (2)(1)でn＝mとなるnは1とp-1のみ (3)pが素数⇒(p-1)!≡-1 (4)pが素数⇔(p-1)!≡-1
【34】約数個数関数 xを自然数とするとき以下を示せ (1)自然数nについてnはxの約数⇔Σ[k＝1〜n]cos(2πkx/n)/n＝1 (2)Σ[n＝1〜∞]Σ[k＝1〜n]cos(2πkx/n)/nはxの正の約数の個数
【33】円とチェザロ平均 非負整数kについて、r(k)をx^2+y^2=k上の格子点の個数とするとき以下を示せ (1)π(√n-√2)^2≦Σ[k=0〜n]r(k)≦π(√n+√2)^2 (2)lim[n→∞］Σ[k=0〜n]r(k)/n＝π
【32】フィボナッチ数列と黄金比 Fnをフィボナッチ数列のn項目、φ＝(1+√5)/2、ψ＝(1-√5)/2とするとき以下を示せ (1)Fn＝(φ^n-ψ^n)/(φ-ψ) (2)lim[n→∞]F(n+1)/Fn＝φ
【31】ヴィエトの公式 nを自然数、 θを0でない実数とするとき以下を示せ (1)sinθ=2^n・sin(θ/2^n)・(Π[k=1〜n]cos(θ/2^k)) (2)sinθ/θ=Π[k=1〜∞]cos(θ/2^k)
【30】3.05＜π 以下を示せ (1)点(5,0)(4,3)(3,4)(0,5)は半径5で中心を原点とする円上にある (2)3.05＜π
どちゃ楽数学bot @solove_math
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