新・数学問題BOT @Mathematica_2

およそ2時間毎に数学(算数)の問題をつぶやきます。暇つぶしにどうぞ！御用の方はDMまでお願いします。問題募集↓ forms.gle/S2RtJrFpA7uwpZ… singularity point Joined August 2018

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新・数学問題BOT @Mathematica_2

33 minutes ago

四面体ABCDの辺AB,BC,CD,DAをなす直線がある平面と交わる点をそれぞれP,Q,R,Sとすると、 AP･BQ･CR･DS=PB･QC･RD･SA が成立する。これを証明せよ。 (H17 気象大改)

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新・数学問題BOT @Mathematica_2

2 hours ago

(1) a^4+4b^4を因数分解せよ。 (2) 「任意の自然数nに対してn^4+aが素数でない」という条件を満たす自然数aは無限に存在することを証明せよ。 (S44数学オリンピック改)

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5 hours ago

自然数kに対してa_k=2^(√k)とする。nを自然数とし、a_kの整数部分がn桁であるもののkの個数をN_n、a_kの整数部分がn桁でありかつ首位が1であるもののkの個数をL_nとする。lim[n→∞]L_n/N_nを求めよ。 (R6 京都大)

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7 hours ago

f,gはともにtの関数とする。 (1) a＜bの時次のS,Tの大小を比較せよ。 S={∫[a→b]√(f^2+g^2)dt}^2 T=(∫[a→b]fdt)^2+(∫[a→b]gdt)^2 (2) (x=F(t),y=G(t)) (a≦t≦b)で表される曲線の弧がある。(1)でf=dF/dt,g=dG/dtとするとき、S,Tの幾何学的な意味を説明せよ。

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9 hours ago

半円x^2+y^2=1,y≧0の鏡面がある。点(k,0) (-1＜k＜1)から直線x=kに沿って光を放つ。 (1) 光が鏡面で1回だけ反射するためのkの条件を求めよ。 (2) (1)の範囲でkが変化するとき、反射光が通過し得る領域を図示せよ。

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10 hours ago

p,q,r,s,t,uは正の実数とする。6辺の長さがp,q,r,s,t,uである四面体の体積をVとするとき、Vをp,q,r,s,t,uを用いて表せ。 (H20近大数学コンテスト)

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12 hours ago

a,bを正の実数、pを虚数とする。 xに関する4次方程式 x^4+ax^3+(2b+7)x^2+2abx+5b^2=0 は、4つの異なる複素数解を持ち、そのうち2つはp,2p+p*である。ただし、p*はpの複素共役を表す。このときのa,bの値をそれぞれ定めよ。 (フォロワー提供)

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15 hours ago

(1) pが素数ならばp^4+14は素数ではないことを示せ。 (2) nを2以上の整数とする。3^n-2^nが素数ならばnも素数であることを示せ。 (R3 京都大)

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16 hours ago

(1) 座標平面上の格子点を頂点に持つ穴のない多角形について、多角形内部の格子点数をx,多角形の辺上の格子点数をyとする。この多角形の面積をx,yで表せ。 (2) 格子点を頂点に持つ正多角形は正方形に限ることを証明せよ。

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21 hours ago

座標平面上の2つのベクトルa↑=(p,q),b↑=(r,s)に対して、函数〈a↑,b↑〉を次で定める。〈a↑,b↑〉=∫[-1→1](px+q)(rx+s)dx (1)〈a↑,b↑〉をp,q,r,sで表せ。 (2) 次の不等式を証明せよ。また、等号の成立条件を述べよ。〈a↑,b↑〉^2≦〈a↑,a↑〉･〈b↑,b↑〉

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新・数学問題BOT @Mathematica_2

22 hours ago

AF=FEである六角形ABCDEFに対角線AD,AE,BD,BE,CFを引いたところ、AE=ADかつBD=CDであり、∠DAE=90°,∠BDE=165°,∠FAE=∠FCD=15°であることが分かりました。 △BDEと△AEFの面積比が2:1でDE=10cmのとき、四角形CDEFの面積を求めなさい。 (フォロワー提供)

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新・数学問題BOT @Mathematica_2

a day ago

数列1,2,2^2,2^3,…,2^2013を考える。この数列の中で首位の数字が4であるものはいくつあるか。ただし、2^2014は607桁の数であり、首位の数は1である。 (H25 筑波大附駒場高)

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新・数学問題BOT @Mathematica_2

a day ago

定規とコンパスのみを用いて一般の角を三等分することは不可能である(ギリシア三大作図題)。しかし、すべての角を三等分できないわけではない。では、θ°を作図で三等分できるような1≦θ≦359なる自然数はいくつ存在するか。 (フォロワー提供)

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a day ago

2次正方行列A=[(1,-1),(2,5)]に対して行列BをB=2A^4-12A^3+19A^2-29A+37Eで定義する。ただしEは単位行列E=[(1,0),(0,1)]のことである。 (1) 行列Bを求めよ。 (2) 行列Bの逆行列B^-1をAを用いて表せ。 (数検1級)

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新・数学問題BOT @Mathematica_2

a day ago

図のように質量Mの台車と壁の間をばね定数kの長いバネで接続した系を考える。バネはx＝0で自然長、台車にはその速度x'に比例した空気抵抗cx'が働く。時刻tでの台車の位置をx(t)とし、x(0)=2,x'(0)=-2とする。 (1) 台車の運動方程式を書け。 (2) 台車が振動しないM,c,kの条件を述べよ。 (数検1級模試)